2017四川省资阳市中考第9题解析

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在解析这道题之前，我们先学习一个十分有用的结论（有些书上称‘射影定理’下面借用该称呼）：在直角三角形中，斜边上的高分原三角形成两个小直角三角形后，三个直角三角形之间两两相似，对应边成比例。即：如图，

下面回到正文：

【分析一】由折叠的性质和中点定义可知DE=CE=FE，发现△EFC是等腰三角形，由等腰三角形的“三线合一”定理作辅助线，进而得到相似三角形，利用相似三角形边的关系求出相应线段的长。

【解法一】如图，

过点E作EN⊥CF于点N，

由折叠可知∠1=∠2,DE=FE,

∵点E是DC的中点，

∴DE=CE=FE

 ∴△EFC是等腰三角形，∠3=∠4

 ∴∠1+∠3=∠2+∠4=90°

 ∵∠D=90°

 ∴∠2+∠5=90°

 ∴∠4=∠5

 ∵∠D=∠ENC

 ∴△ADE∽△ENC

【分析二】由矩形的性质和勾股定理容易求得线段AE的长。连接DF，交AE于点M,在Rt△ADE中，DF⊥AE，由射影定理得到AM的长，进而容易求出EM、DM的长。由折叠的性质得DE=FE,由已知中点E得DE=CE，所以DE=FE=CE,显然，点F在以DC为直径的圆上，∠DFC=90° ，由勾股定理得出CF的长。

【解法二】：如图

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【分析三】由矩形的性质和勾股定理容易求得线段AE的长，在Rt△ADE中，DF⊥AE，由射影定理得到AM的长，进而容易求出EM的长。由折叠的性质知点M是DF的中点，已知点E是DC的中点，所以，ME是△DFC的中位线，由中位线定理得CF=2ME即求得CF的长。

【解法三】：如图，

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【点评】：解决此类折叠型题目，抓住基本图形（如矩形）的性质以及折叠的性质是根本；充分利用直角三角形的勾股定理、相似三角形的性质、等腰三角形的相关性质等是关键。

特别说明：

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